3  Anwendung auf geordnetes GaInP₂

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, wie sich die in Kap. 2 abgeleitete Theorie auf ein konkretes Problem, die effektive Masse der Elektronen im Leitungsband von (teil-)geordnetem GaInP₂, anwenden läßt.

3.1 Allgemeines zum Materialsystem

Viele III–V-Halbleiterlegierungen AxB1xCA_{x}B_{1-x}C mit Kationen AA und BB zeigen spontane, langreichweitige CuPt-Ordnung, wenn sie mit metallorganischer Gasphasen-Epitaxie [metalorganic vapour phase epitaxy (MOVPE)] auf (001)(001)-orientierten Substraten gewachsen werden (). Die geordnete Phase besteht aus abwechselnden Monolagen Ax+η/2B1xη/2CA_{x+\eta/2}B_{1-x-\eta/2}C und Axη/2B1x+η/2CA_{x-\eta/2}B_{1-x+\eta/2}C, die längs der [111][111]-Richtung angeordnet sind. Dabei ist 0η10 \le \eta \le 1 der Ordnungsgrad. Die [111][111]-Richtung wird als Ordnungsrichtung bezeichnet.

Ein prominentes Beispiel für diese Materialien ist Gax_{x}In1x_{1-x}P. Mit GaInP₂ wollen wir den Fall x0.5x \approx 0.5 bezeichnen, der gitterangepaßt auf GaAs Substraten aufgewachsen werden kann (). Ein Vergleich der mikroskopischen Struktur der ungeordneten Zinkblende-Struktur und einem CuPt-geordneten Material ist in Abb. 3.1 zu sehen.

Abb. 3.1(b) zeigt den Fall idealer Ordnung, d.h. Ordnungsgrad η=1\eta=1. Allerdings wurden im Experiment bisher nur teilgeordnete Proben gefunden. Das bedeutet η<1\eta < 1, so daß auf aufeinanderfolgenden (111)(111)-Ebenen die Wahrscheinlichkeit abwechselnd erhöht (erniedrigt) und erniedrigt (erhöht) ist, ein Ga (In) Atom zu finden. Dabei hängt der Ordnungsgrad von verschiedenen Wachstumsbedingungen wie Temperatur und Substratorientierung ab.

Beim Übergang vom ungeordneten (η=0\eta=0) Zinkblende-System zu einem CuPt-geordneten Kristall wird die Einheitszelle verdoppelt und damit die Brillouin-Zone halbiert. Die Punktgruppe des Kristalls reduziert sich von TdT_d zu C3vC_{3v}. Diese Verkleinerung der Brillouin-Zone bewirkt ein Zurückfalten von Zuständen. An jedem Punkt der neuen Brillouin-Zone finden sich Zustände, die sich ursprünglich an zwei verschiedenen Punkten der Brillouin-Zone des Zinkblende-Gitters befanden. Die für uns interessanten Zustände befinden sich im Zentrum der neuen Brillouin-Zone. Der eine Teil der dort zu findenden Zustände war auch im Zinkblende-Gitter schon am Γ\Gamma-Punkt. Der andere Teil faltet von dem L-Punkt zurück, der in Ordnungsrichtung liegt.

Dies führt zu einer ganzen Reihe von Effekten, von denen wir die wichtigsten hier behandeln wollen. Zwei der auffälligsten sind die Reduzierung der Bandlücke um ΔEBGR\Delta E_{\text{BGR}} und die Kristallfeldaufspaltung ΔCF\Delta_{\text{CF}}. Letzteres bedeutet, daß das ohne Spin-Bahn-Wechselwirkung dreifach entartete Γ5v{\Gamma_{5 \text{v}}}-Valenzbandmaximum in einen zweifach entarteten Γˉ3v(Γ5v){\bar \Gamma_{3 \text{v}}} ({\Gamma_{5 \text{v}}})-Zustand und einen einfach entarteten Γˉ1v(Γ5v){\bar \Gamma_{1 \text{v}}} ({\Gamma_{5 \text{v}}})-Zustand aufspaltet.

Wird die Spin-Bahn-Wechselwirkung berücksichtigt, so zeigt sich die Kristallfeldaufspaltung in einer Aufhebung der vierfachen Entartung des Γ8v\Gamma_{\text{8v}} Valenzbandes. Die sich hier ergebende Aufspaltung entspricht nicht der Kristallfeldaufspaltung. Aus der Valenzbandaufspaltung läßt sich aber die Kristallfeldaufspaltung berechnen, wenn für die Spin-Bahn-Wechselwirkung die quasikubische Näherung gemacht wird (), bei der eine von der Symmetrie her mögliche Anisotropie in der Spin-Bahn-Wechselwirkung vernachlässigt wird.

Theoretische Vorhersagen () und Messungen (; ) haben gezeigt, daß zwischen Bandlückenreduzierung ΔEBGR\Delta E_{\text{BGR}} und Kristallfeldaufspaltung ΔCF\Delta_{\text{CF}} eine vom Ordnungsgrad unabhängige Beziehung herrscht. Für GaInP₂ finden diese Autoren

ζtheo=ΔEBGRΔCF=2,69bzw.ζexp2,65.(3.1) \zeta_{\text{theo}} = \frac{\Delta E_{\text{BGR}}}{\Delta_{\text{CF}}} = 2{,}69 \quad \text{bzw.} \quad \zeta_{\text{exp}} \approx 2{,}65 . \qquad(3.1)

Weiterhin sind in (teil-)geordnetem GaInP₂ optische Übergänge möglich, die im ungeordneten Fall dipolverboten sind. Einer von diesen ist der Übergang Γˉ3v(Γ5v)Γˉ1c(L1c){\bar \Gamma_{3 \text{v}}}({\Gamma_{5 \text{v}}}) \rightarrow {\bar \Gamma_{1 \text{c}}}({\text{L}_{1 \text{c}}}), der vor kurzem genauer untersucht wurde (). Trägt man die Übergangsenergie als Funktion der Bandlückenreduzierung auf, so ergibt sich eine Gerade mit Steigung θ=0,48\theta = 0,48. Es besteht also ein eindeutiger Zusammenhang zwischen dem Ordnungsgrad, repräsentiert durch die Bandlückenreduzierung ΔEBGR\Delta E_{\text{BGR}}, und der Änderung ΔEΓL\Delta E_{\Gamma \rightarrow \text{L}} der Energie des Übergang Γˉ3v(Γ5v)Γˉ1c(L1c){\bar \Gamma_{3 \text{v}}}({\Gamma_{5 \text{v}}}) \rightarrow {\bar \Gamma_{1 \text{c}}}({\text{L}_{1 \text{c}}}), gegeben durch

θ=ΔEΓLΔEBGR=0,48.(3.2) \theta = \frac{\Delta E_{\Gamma \rightarrow \text{L}}} {\Delta E_{\text{BGR}}} = 0{,}48 . \qquad(3.2)

3.2 Beschreibung der effektiven Massen im Leitungsband

Die bisher erwähnten Untersuchungen beschäftigten sich nur mit den Energien verschiedener Zustände in Abhängigkeit vom Ordnungsgrad, d.h. mit statischen Eigenschaften. Eine wichtige Größe bei der Beschreibung dynamischer Eigenschaften – z.B. Transportphänomenen – sind die effektiven Massen der Elektronen im Valenz- und Leitungsband.

Als erste versuchten Raikh und Tsiper (), die effektive Masse im Leitungsband über die Kopplung zwischen den Bändern Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}} und L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} im Rahmen einer Effektive-Massen-Näherung zu beschreiben. Das unbekannte Matrixelement für diese Kopplung paßten sie dabei an beobachtete Bandlückenreduzierungen an, da L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} energetisch höher liegt als Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}} und die Kopplung zu einer Abstoßung dieser Zustände führt. Außerdem mischen die Zustände auf Grund dieser Kopplung. Da die effektiven Massen von L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} anisotrop und größer als bei Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}} sind, ergibt sich mit diesem Modell die Vorhersage eines Anstiegs der effektiven Masse im untersten Leitungsband als Funktion des Ordnungsgrades. Dabei sollte der Anstieg parallel zur Ordnungsrichtung größer sein als senkrecht zu ihr, also m>m>mcm^{\ast}_{\parallel} > m^{\ast}_{\perp} > m^{\ast}_{\text{c}}. Hier bezeichnet mcm^{\ast}_{\text{c}} die isotrope effektive Masse von Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}}, mm^{\ast}_{\parallel} die effektive Masse parallel zur Ordnungsrichtung und mm^{\ast}_{\perp} die effektive Masse senkrecht zur Ordnungsrichtung.

Problematisch bei diesem Ansatz ist, daß die Bandlückenreduzierung zu einer Verstärkung der Wechselwirkung zwischen Valenzbandmaximum und Leitungsbandminimum führt, was eine Reduzierung der effektiven Masse im Leitungsband zur Folge hat. Dies wurde von Zhang und Mascarenhas () untersucht. Ausgehend von einem acht Bänder (Γ6c,Γ8v,Γ7v\Gamma_{\text{6c}}, \Gamma_{\text{8v}}, \Gamma_{\text{7v}}) umfassenden kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Hamilton-Operator für den ungeordneten Kristall, berücksichtigten sie die Ordnungseffekte durch zwei Parameter, welche die Bandlückenreduzierung und Kristallfeldaufspaltung beschreiben. Sie erhielten damit eine reduzierte effektive Masse im Leitungsband. Bedingt durch die Kristallfeldaufspaltung im Valenzband fiel diese in Ordnungsrichtung schwächer aus, also mc>m>mm^{\ast}_{\text{c}} > m^{\ast}_{\parallel} > m^{\ast}_{\perp}.

In diesem Ansatz fehlen aber die Effekte der Γ\Gamma–L-Mischung, die nicht vernachlässigbar sind. Franceschetti, Wei, und Zunger () zeigten dies, indem sie ab initio Bandstruktur-Rechnungen (Dichtefunktionaltheorie in lokaler Dichtenäherung) für den ideal geordneten Fall durchführten. Dabei fanden sie m>mm^{\ast}_{\parallel} > m^{\ast}_{\perp}, in Übereinstimmung mit obigen Rechnungen. Aber die effektive Masse im ungeordneten Material befand sich zwischen diesen beiden Werten, also m>mc>mm^{\ast}_{\parallel} > m^{\ast}_{\text{c}} > m^{\ast}_{\perp}. Die Schlußfolgerung der Autoren war, daß die effektive Masse der Leitungsbandelektronen empfindlich davon abhängt, in welchem Verhältnis Γ\Gamma–L-Mischung und verstärkte Kopplung zum Valenzband zueinander stehen.

Sowohl die Γ\Gamma–L-Mischung, als auch die verstärkte Kopplung zum Valenzband beruhen beide auf der Wechselwirkung zwischen Zinkblende Γ\Gamma- und L-Zuständen. Ein Modell, das diese Wechselwirkung richtig beschreibt, sollte deshalb auch in der Lage sein, die Ordnungsabhängigkeit der effektiven Masse im Leitungsband korrekt zu beschreiben. Ein solches Modell ist mit der in Kap. 2 abgeleiteten Theorie möglich, und wir wollen sie nun auf dieses Problem anwenden.

3.3 Wahl der Basisfunktionen

Das ungestörte Problem von dem wir ausgehen wollen ist der ungeordnete Kristall, beschrieben durch den Hamilton-Operator H0H_{0}. Für diesen benötigen wir als Parameter die Energieeigenwerte εn(k)\varepsilon_{n}(\bm{k}) und die Impulsmatrixelemente pnnK{\bm{p}^{{\bm{\mathcal{K}}}}_{\mathnormal{n{n^{\prime}}}}} aus Gl. 2.21. Dazu führen wir eine Bandstruktur-Rechnung durch und beschreiben dabei den ungeordneten Kristall mit der Näherung eines virtuellen Kristalls [virtual crystal approximation (VCA)]. Für diese Berechnung verwenden wir die Methode der Linearkombination atomarer Orbitale [linear combination of atomic orbitals (LCAO), oft auch tight-binding approximation (TBA) genannt]. Dabei bleibt die Spin-Bahn-Wechselwirkung unberücksichtigt. Die Spin-Bahn-Aufspaltung ist mit einem Betrag von etwa 100 meV100~\text{meV} verglichen mit einer Bandlücke von 1,97 eV1{,}97~\text{eV} nicht vernachlässigbar, doch ist der Einfluß der Spin-Bahn-Aufspaltung auf die effektive Masse im Leitungsband sehr gering. Auf Details dieser Rechnung werden wir im Anhang Kap. A eingehen. Ergebnisse sind z.B. in Abb. 3.3 dargestellt.

Die Störung H1H_{1} entspricht dem Unterschied zwischen dem Kristallpotential im (teil-)geordneten und ungeordneten Fall. Dieses Ordnungspotential
hat nicht mehr die Symmetrie des Zinkblende-Gitters (Punktgruppe TdT_d) sondern die der geordneten Phase, für die CuPt-Struktur also Punktgruppe C3vC_{3v}. Deshalb ist es in der Lage, Zustände verschiedener Symmetrie im Zinkblende-Gitter zu koppeln, wenn sie in der CuPt-geordneten Struktur die gleiche Symmetrie haben. Dabei wollen wir nur Kopplungen zwischen Zuständen berücksichtigen, die zu verschiedenen k\bm{k}-Punkten im Zinkblende-Kristall gehören, aber nach der Faltung am gleichen k\bm{k}-Punkt zu finden sind. Das bedeutet, daß in der Entwicklung Gl. 2.10 nur diejenigen Koeffizienten ρm\rho_{m} berücksichtigt werden, die zu neuen reziproken Gittervektoren Gm{\bm{G}_{\mathnormal{m}}} gehören, aber nicht die, die zu alten reziproken Gittervektoren Gm{\bm{\mathcal{G}}_{\mathnormal{m}}} gehören. Raikh und Tsiper () haben gezeigt, daß dies im Rahmen der VCA exakt gilt, wenn im geordneten Kristall keine Relaxationen auftreten. Experimente, welche das Maß an Relaxation untersuchten, wurden bisher nicht veröffentlicht. Theoretische Untersuchungen (; ) lassen keinen eindeutigen Schluß zu, ob Relaxationen notwendig sind oder nicht, um beobachtete Größen wie z.B. die Kristallfeldaufspaltung zu erklären. Allerdings stimmen sie darin überein, daß Relaxationen auch die Kopplung zwischen Zuständen von verschiedenen k\bm{k}-Punkten der Zinkblende-Brillouin-Zone verstärken würden, so daß es gerechtfertigt erscheint, die Matrixelemente zwischen Zuständen vom gleichen k\bm{k}-Punkt zu vernachlässigen. Für die in Kap. 2.4 skizzierte Matrixform des Hamilton-Operators heißt dies, daß die VnnKK{V^{{\bm{\mathcal{K}}}{\bm{\mathcal{K}}}}_{n {n^{\prime}}}} und VnnKK{V^{{{\bm{\mathcal{K}}}^{\prime}} {{\bm{\mathcal{K}}}^{\prime}}}_{n {n^{\prime}}}} nicht berücksichtigt werden.

Wie in Kap. 2.2 gezeigt, sind die Zustände von Γ\Gamma- und L-Punkt, die hier den Satz {K}\{{\bm{\mathcal{K}}}\} aus Kap. 2.2 bilden, ein vollständiges Orthonormalsystem. Doch ist das sich daraus ergebende unendlich-dimensionale Gleichungssystem für praktische Rechnungen nicht praktikabel, weshalb die Einschränkung auf eine geeignete Basis ein wichtiger Schritt ist. Die kleinste Basis, die es noch ermöglicht die wesentlichen physikalischen Vorgänge zu beschreiben, enthält die Zustände Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}}, Γ5v{\Gamma_{5 \text{v}}}, L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} und L3v{\text{L}_{3 \text{v}}} (siehe Abb. 3.3). Zwischen den Leitungsbandzuständen ist auf Grund des geringen Energieabstandes eine starke Wechselwirkung zu erwarten. Die Mischung dieser Zustände beeinflußt die effektiven Massen im Leitungsband unmittelbar. Zusätzlich reduziert sich noch die Bandlücke, was die kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Wechselwirkung mit dem Valenzband verstärkt. Um dies zu beschreiben, reicht es aber nicht aus, nur die Γ5v{\Gamma_{5 \text{v}}}-Zustände zu berücksichtigen, da die Kristallfeldaufspaltung zu einer Anisotropie in der kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Wechselwirkung zwischen Valenz- und Leitungsband führt. Die Kristallfeldaufspaltung können wir aber nur über die Wechselwirkung zwischen Γ5v{\Gamma_{5 \text{v}}}- und L3v{\text{L}_{3 \text{v}}}-Zuständen erklären, so daß die L3v{\text{L}_{3 \text{v}}}-Zustände auch in die Basis aufgenommen werden müssen.

3.4 Der kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Hamilton-Operator

Die Form des kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Hamilton-Operators, der zur Basis aus Kap. 3.3 gehört, läßt sich aus allgemeinen gruppentheoretischen Überlegungen ableiten. Dabei wollen wir zunächst die Standard kp\bm{k}\cdot \bm{p} Teile betrachten.

Der kp\bm{k}\cdot \bm{p}-Hamilton-Operator für Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}} und Γ5v{\Gamma_{5 \text{v}}} ist wohlbekannt. Vernachlässigen wir das Fehlen von Inversionssymmetrie und wählen xx, yy und zz entlang der kubischen Kristallachsen [100][100], [010][010] und [001][001], so ist er durch

HΓ=(EΓc+22mk2+Ak2iPΓkxiPΓkyiPΓkziPΓkx22mk2+Lkx2+M(ky2+kz2)NkxkyNkxkziPΓkyNkxky22mk2+Lky2+M(kx2+kz2)NkykziPΓkzNkxkzNkykz22mk2+Lkz2+M(kx2+ky2))(3.3) H_{\Gamma} = \left( \begin{array}{c|ccc} \begin{array}{c} E_{\Gamma\text{c}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} \\ + {A^{\prime}} k^{2} \end{array} & i{P_{\Gamma}}k_{x} & i{P_{\Gamma}}k_{y} & i{P_{\Gamma}}k_{z} \\ %%%%%%%%%%% \hline -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{x} & \begin{array}{c} \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} + {L^{\prime}} k_{x}^{2} \\ + {M^{\prime}} (k_{y}^{2}+k_{z}^{2}) \end{array} & {N^{\prime}} k_{x} k_{y} & {N^{\prime}} k_{x} k_{z} \\ %%%%%%%%%%% -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{y} & {N^{\prime}} k_{x} k_{y} & \begin{array}{c} \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} + {L^{\prime}} k_{y}^{2} \\ + {M^{\prime}} (k_{x}^{2}+k_{z}^{2}) \end{array} & {N^{\prime}} k_{y} k_{z} \\ %%%%%%%%%%% -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{z} & {N^{\prime}} k_{x} k_{z} & {N^{\prime}} k_{y} k_{z} & \begin{array}{c} \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} + {L^{\prime}} k_{z}^{2} \\ + {M^{\prime}} (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}) \end{array} \\ \end{array}\right) \qquad(3.3)

in der Basis Γ1c{| {{\Gamma_{1 \text{c}}}} \rangle}, Γ5vx{| {{\Gamma^{x}_{5 \text{v}}}} \rangle}, Γ5vy{| {{\Gamma^{y}_{5 \text{v}}}} \rangle} und Γ5vz{| {{\Gamma^{z}_{5 \text{v}}}} \rangle} gegeben (), wobei A{A^{\prime}}, L{L^{\prime}}, M{M^{\prime}} und N{N^{\prime}} die Wechselwirkung mit energetisch weiter entfernten Bändern repräsentieren, die über Löwdin-Störungstheorie () berücksichtigt wurde; mm ist die Masse des freien Elektrons. Das reduzierte Impulsmatrixelement PΓ{P_{\Gamma}} ist gegeben durch

PΓ=imΓ1cpxΓ5vx. {P_{\Gamma}}= - i \frac{\hbar}{m} {\langle {{\Gamma_{1 \text{c}}}} | {p_{x}} | {{\Gamma^{x}_{5 \text{v}}}} \rangle}.

Dieses Matrixelement bezieht sich dabei auf ein Integral über die Einheitszelle von ungeordnetem GaInP₂ von der Form Gl. 2.20. Dort entspricht der Integrationsbereich zwar der Einheitszelle von geordnetem GaInP₂, doch wie bereits in Kap. 2.3.1 erwähnt, hängt der Wert des Impulsmatrixelements nicht vom Integrationsbereich ab, da sich das auftretende Normierungsvolumen entsprechend ändert.

Der Hamilton-Operator für das L3v{\text{L}_{3 \text{v}}}-Band ist z.B. bei Bir und Pikus () zu finden, wobei wiederum Terme linear in k\bm{k}, die von der Inversionsasymmetrie des Zinkblende-Gitters herrühren, vernachlässigt werden. Wir wollen aber die Wechselwirkung mit L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} explizit berücksichtigen, so daß wir untersuchen müssen, welche Impulsmatrixelemente zwischen diesen Zuständen existieren. Wählen wir die zz-Achse parallel zur [111][111]-Richtung, so transformiert sich die zz-Komponente des Impulsoperators gemäß der irreduziblen Darstellung Γ1\Gamma_1 von C3vC_{3v}, xx- und yy-Komponente wie Γ3\Gamma_3. Das Wigner-Eckart-Theorem zusammen mit den bei Koster u. a. () tabellierten Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergibt nun, daß es am L-Punkt, ähnlich wie am Γ\Gamma-Punkt, nur ein reduziertes Impulsmatrixelement innerhalb der von uns gewählten Basis gibt. Im Unterschied zum Γ\Gamma-Punkt gibt es aber keine Kopplung in zz-Richtung, da L1cpzL3v=0{\langle {{\text{L}_{1 \text{c}}}} | {p_{z}} | {{\text{L}_{3 \text{v}}}} \rangle} = 0 gilt. Somit erhalten wir

HL=(ELc+22mk2+Fk2+Gkz2iPLkxiPLkyiPLkxELv+22mk2+Akz2+B(kx2+ky2)+CkykzCkxkziPLkyCkxkzELv+22mk2+Akz2+B(kx2+ky2)+Ckykz)(3.4) H_{\text{L}} = \left( %%%%%%%%%%% \begin{array}{c|cc} \begin{array}{c} E_{\text{Lc}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} \\ + F k_{\perp}^{2} + G k_{z}^{2} \end{array} & i{P_{\text{L}}}k_{x} & i{P_{\text{L}}}k_{y} \\ \hline %%%%%%%%%%% -i{P_{\text{L}}}^{\ast} k_{x} & \begin{array}{c} E_{\text{Lv}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} + A k_{z}^{2} \\ + B (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}) + C k_{y} k_{z} \end{array} & C k_{x} k_{z} \\ %%%%%%%%%%% -i{P_{\text{L}}}^{\ast} k_{y} & C k_{x} k_{z} & \begin{array}{c} E_{\text{Lv}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} + A k_{z}^{2} \\ + B (k_{x}^{2}+k_{y}^{2}) + C k_{y} k_{z} \end{array}\\ \end{array}\right) \qquad(3.4)

in der Basis L1c{| {{\text{L}_{1 \text{c}}}} \rangle}, L3vx{| {{\text{L}^{x}_{3 \text{v}}}} \rangle} und L3vy{| {{\text{L}^{y}_{3 \text{v}}}} \rangle}, wobei AA, BB, CC, FF und GG die Wechselwirkung mit energetisch weiter entfernten Bändern beschreiben. Das reduzierte Impulsmatrixelement PL{P_{\text{L}}} ist gegeben durch

PL=imL1cpxL3vx. {P_{\text{L}}}= - i \frac{\hbar}{m} {\langle {{\text{L}_{1 \text{c}}}} | {p_{x}} | {{\text{L}^{x}_{3 \text{v}}}} \rangle}.

Dabei wurde neben e^z[111]\bm{\hat e}_{z}\parallel [111] noch e^x[11ˉ0]\bm{\hat e}_{x}\parallel [1 \bar{1} 0] und e^y[112ˉ]\bm{\hat e}_{y}\parallel [1 1 \bar{2}] gewählt. Da dann xx in einer Spiegelebene von C3vC_{3v} liegt, yy dagegen senkrecht zu dieser steht, erklärt dies die xx-yy-Asymmetrie in Gl. 3.4.

Damit wir bei der Bestimmung der möglichen Potentialmatrixelemente das Wigner-Eckart-Theorem effektiv anwenden können, müssen wir Gl. 3.3 im gleichen Koordinatensystem wie Gl. 3.4 schreiben. Da wir hier nicht versuchen wollen, die Dispersion der Valenzbänder zu beschreiben, brauchen wir die Parameter L{L^{\prime}}, M{M^{\prime}} und N{N^{\prime}} in Gl. 3.3 nicht zu berücksichtigen, wodurch die nötige Drehung des Koordinatensystems für die Hamilton-Matrix Gl. 3.3 trivial wird. Aus den selben Gründen können wir auch AA, BB und CC in Gl. 3.4 vernachlässigen.

Es ist bekannt, daß im Zentrum der Brillouin-Zone die effektive Masse des untersten Leitungsbandes zum größten Teil über die Wechselwirkung mit dem Valenzbandmaximum erklärt werden kann. Dabei stammt der zweitgrößte Anteil von der Wechselwirkung mit dem untersten sich nach Γ5\Gamma_{5} transformierenden Leitungsband. Das mit dieser Wechselwirkung assoziierte Matrixelement PΓ{{P_{\Gamma}}^{\prime}} (siehe Abb. 3.5) beträgt aber etwa 0,35PΓ0{,}35 {P_{\Gamma}} () und soll deshalb hier vernachlässigt werden. Wir wählen also A=0{A^{\prime}}=0 in der Hamilton-Matrix Gl. 3.3.

In Abb. 3.4 ist zu sehen, daß die Dispersion am L-Punkt senkrecht zur [111][111]-Richtung qualitativ ähnlich zu der am Γ\Gamma-Punkt ist. Auch die Beziehung zwischen PL{{P_{\text{L}}}^{\prime}} und PL{P_{\text{L}}} ist vergleichbar zu der von PΓ{{P_{\Gamma}}^{\prime}} und PΓ{P_{\Gamma}}, wie Manuel Cardona () zeigen konnte. Deshalb wollen wir auch diesen Fernbandbeitrag vernachlässigen und damit in Gl. 3.4 F=0F=0 wählen.

Nur die Dispersion am L-Punkt parallel zur [111][111]-Richtung läßt sich nicht mit Wechselwirkungen innerhalb der hier gewählten Basis erklären. Deshalb behalten wir GG als einzigen Beitrag energetisch weiter entfernter Bänder in unserem Modell.

Die Bestimmung der möglichen Potentialmatrixelemente ist direkt über das Wigner-Eckart Theorem möglich. L1c{\text{L}_{1 \text{c}}} und H1H_{1} transformieren sich gemäß Γ1\Gamma_{1} von C3vC_{3v}, L3vx{\text{L}^{x}_{3 \text{v}}} und L3vy{\text{L}^{y}_{3 \text{v}}} transformieren sich gemeinsam gemäß Γ3\Gamma_{3}. Die Wellenfunktionen des Γ\Gamma-Punkts haben ein wohldefiniertes Transformationsverhalten unter den Operationen von TdT_d. Uns interessiert aber, wie sie sich unter Transformationen von C3vC_{3v} verhalten. Da C3vC_{3v} eine Untergruppe der TdT_d ist, läßt sich diese Frage mit Hilfe der Kompatibilitätsrelationen beantworten, wie sie bei Koster u. a. () zu finden sind. Mit dem bei Gl. 3.4 verwendeten Koordinatensystem erhalten wir, daß sich Γ1c{\Gamma_{1 \text{c}}} und Γ5vz{\Gamma^{z}_{5 \text{v}}} gemäß Γ1\Gamma_{1} von C3vC_{3v} transformieren, und daß Γ5vx{\Gamma^{x}_{5 \text{v}}} und Γ5vy{\Gamma^{y}_{5 \text{v}}} sich gemeinsam gemäß Γ3\Gamma_{3} von C3vC_{3v} transformieren. Damit ergibt sich, daß es nur drei verschiedene Matrixelemente zwischen den Zuständen in unserer Basis gibt:

V11=Γ1cH1L1cV35=Γ5vxH1L3vx=Γ5vyH1L3vyV15=Γ5vzH1L1c(3.5) \begin{aligned} V_{11} &= {\langle {{\Gamma_{1 \text{c}}}} | {H_{1}} | {{\text{L}_{1 \text{c}}}} \rangle}\\ V_{35} &= {\langle {{\Gamma^{x}_{5 \text{v}}}} | {H_{1}} | {{\text{L}^{x}_{3 \text{v}}}} \rangle} = {\langle {{\Gamma^{y}_{5 \text{v}}}} | {H_{1}} | {{\text{L}^{y}_{3 \text{v}}}} \rangle} \\ V_{15} &= {\langle {{\Gamma^{z}_{5 \text{v}}}} | {H_{1}} | {{\text{L}_{1 \text{c}}}} \rangle} \end{aligned} \qquad(3.5)

Dabei bezieht sich das Matrixelement auf ein Integral über die Einheitszelle von geordnetem GaInP₂ von der Form Gl. 2.24. Ordnungsbedingte Wechselwirkungen mit Zuständen außerhalb der hier gewählten Basis werden wegen des großen energetischen Abstands dieser Niveaus nicht berüchsichtigt.

Abb. 3.5 zeigt nochmal im Überblick, welche Matrixelemente in unserem Modell berücksichtigt werden (durchgezogenen Linien). Als durchbrochene Linien sind noch diejenigen Impuls- und Potentialmatrixelemente eingezeichnet, die bei einer Verfeinerung des Modells als erste berücksichtigt werden sollten.

Fassen wir nun Gl. 3.3 und Gl. 3.4 mit diesem Ergebnis zusammen, so erhalten wir als Hamilton-Operator

HΓL=(EΓc+22mk2iPΓkxiPΓkyiPΓkzV1100iPΓkx22mk2000V350iPΓky022mk2000V35iPΓkz0022mk2V1500V1100V15ELc+22mk2+Gkz2iPLkxiPLky0V3500iPLkxELv+22mk2000V350iPLky0ELv+22mk2) H_{\Gamma \text{L}} = \left( \begin{array}{c|cc|c||c|cc} %%%%%%%%%%% E_{\Gamma\text{c}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} & i{P_{\Gamma}}k_{x} & i{P_{\Gamma}}k_{y} & i{P_{\Gamma}}k_{z} & V_{11} & 0 & 0 \\ \hline %%%%%%%%%%% -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{x} & \frac{\hbar^{2}}{2m}k ^{2} & 0 & 0 & 0 & V_{35} & 0 \\ %%%%%%%%%%% -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{y} & 0 & \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} & 0 & 0 & 0 & V_{35} \\ %%%%%%%%%%% \hline -i{P_{\Gamma}}^{\ast} k_{z} & 0 & 0 & \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} & V_{15} & 0 & 0 \\ \hline\hline %%%%%%%%%%% V_{11}^{\ast} & 0 & 0 & V_{15}^{\ast} & \begin{array}{c} E_{\text{Lc}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2}\\ + G k_{z}^{2} \end{array} & i{P_{\text{L}}}k_{x} & i{P_{\text{L}}}k_{y}\\ %%%%%%%%%%% \hline 0 & V_{35}^{\ast} & 0 & 0 & -i{P_{\text{L}}}^{\ast} k_{x} & E_{\text{Lv}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} & 0 \\ %%%%%%%%%%% 0 & 0 & V_{35}^{\ast} & 0 & -i{P_{\text{L}}}^{\ast} k_{y} & 0 & E_{\text{Lv}} + \frac{\hbar^{2}}{2m} k^{2} \\ \end{array} \right)

in der Basis Γ1c{| {{\Gamma_{1 \text{c}}}} \rangle}, Γ5vx{| {{\Gamma^{x}_{5 \text{v}}}} \rangle}, Γ5vy{| {{\Gamma^{y}_{5 \text{v}}}} \rangle}, Γ5vz{| {{\Gamma^{z}_{5 \text{v}}}} \rangle}, L1c{| {{\text{L}_{1 \text{c}}}} \rangle}, L3vx{| {{\text{L}^{x}_{3 \text{v}}}} \rangle} und L3vy{| {{\text{L}^{y}_{3 \text{v}}}} \rangle}. Dabei haben wir die oben genannten Näherungen bezüglich der Fernbandbeiträge bereits berücksichtigt.

Footnotes

  1. Im Prinzip wäre auch eine der drei Richtungen möglich, die zur [111][111]-Richtung äquivalent sind. Doch hat dies hier keinerlei Auswirkungen, so daß wir hier bei nur einer Richtung bleiben wollen.↩︎

  2. Die Bezeichnungen von Punktgruppen und derer (irreduziblen) Darstellungen folgt der Notation von Koster u. a. ().↩︎

  3. Den vier prinzipiell möglichen Ordnungsrichtungen entsprechen auch vier L-Punkte.↩︎

  4. Bei der Notation der Zustände in der teilgeordneten Phase, folgen wir hier der z.B. bei Wei, Franceschetti, und Zunger () zu findenden. Dabei wird die Symmetrie eines Zustandes im CuPt-geordneten Kristall mit einem Strich versehen, während die Symmetrie desjenigen Zinkblende-Zustands der maßgeblich beiträgt in Klammern angegeben wird. Die Zuordnung der Zinkblende-Zustände ist Abb. 3.3 zu entnehmen.↩︎

  5. Tatsächlich führen sie zunächst mehr Parameter ein, deren Form sich aus Symmetrieüberlegungen ergibt, vernachlässigen dann aber die Übrigen.↩︎

  6. Dieser Begriff wurde zuerst von Wei und Zunger () eingeführt.↩︎

  7. In der Sprache der Gruppentheorie heißt das, daß Γ1\Gamma_1 nicht in der Produktdarstellung Γ1Γ3\Gamma_{1} \otimes \Gamma_{3} enthalten ist.↩︎

  8. Da sich H1H_{1} gemäß der trivialen Darstellung Γ1\Gamma_{1} von C3vC_{3v} transformiert, kann auch eine spezielle Form des Wigner-Eckart-Theorems verwendet werden (). Diese besagt, daß dann nur Matrixelemente zwischen Zuständen möglich sind, die sich nach der gleichen irreduziblen Darstellung transformieren, und die dazugehörigen Clebsch-Gordan-Koeffizienten proportional zur Einsmatrix sind.↩︎